Galoisova teorija enačb predstavlja enega od vrhuncev moderne algebre. V njej se na eleganten način prepletata teorija grup in teorija obsegov, ki tvorita osnovo za ugotavljanje rešljivosti polinomskih enačb z radikali.

Ta teorija je delo matematičnega genija Evaristea Galoisa. Galois je bil prvi matematik, ki je podal potreben in zadostni pogoj za rešljivost enačbe poljubne stopnje z radikali.

Osnovna ideja te teorije je v tem, da nekaterim razširitvam danega obsega lahko določimo tako končno grupo avtomorfizmov razšritvenega obsega, ki bo ohranjala dani obseg. Te razširitve se imenujejo Galoisove razširitve, ustrezne grupe pa Galoisove grupe. Izkaže se, da imajo to lastnost tudi razcepni obsegi polinomov nad številskim obsegom.

Naj bo K razcepni obseg polinoma f(x)=x²- 4 nad obsegom racionalnih števil. Zanimajo nas avtomorfizmi Galoisove grupe razširitve K:

Avtomorfizem	Vrednost na	Vrednost na i
		i
	i	i
	-	i
	-i	i
		-i
	i	-i
	-	-i
	-i	-i

Izkaže se, da je polinomska enačba rešljiva z radikali natanko takrat, ko je rešljiva ustrezna Galoisova grupa. Enačbe 5. stopnje niso rešljive z radikali, ker je njihov razcepni obseg izomorfen nerešljivi simetrični grupi S₅.

Primer nerešljivega polinoma 5. stopnje je polinom f(x)=2x²-10x+5. Iz grafa polinoma ¹/₅f je razvidno, da ima enačba f(x)=0 5 realnih korenov, preostala dva pa sta kompleksna, konjugirana.

V splošnem velja: za praštevilo p>5 je polinom f_p nerešljiv z radikali, če sta izpolnjena pogoja:

1. f_p je nerazcepen nad obsegom (uporabimo Einsteinov kriterij),
2. polinom f_p ima (p-2) realnih korenov in 2 kompleksna korena, ki sta konjugirana.

Več o Galoisovi teoriji lahko najdete v naslednji literaturi:

• Robert Bourgne et J. P. Azra, Ectris et Memoires mathematiques d'Evariste Galois, Gauthier-Villars, Paris, 1962
• Allan Clark, Elements of Abstract Algebra, Dover Publications, Inc., New York, 1984
• John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, 1982